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坐标法求点到平面的距离

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坐标法求点到平面的距离

坐标法求点到平面的距离是解决空间几何问题的一种常用方法。在三维空间中，平面可以由一个法向量和一个过平面上的点确定。点到平面的距离就是点到平面上的垂线的长度。

假设平面的法向量为 $\vec=(a,b,c)$，过平面上的一点为 $P_0(x_0,y_0,z_0)$，点 $P(x,y,z)$ 到平面的距离为 $d$，我们可以得到以下公式：

$d=\frac$

其中，$\vec$ 表示点 $P$ 到平面上任意一点 $P_0$ 的向量。

我们可以根据点 $P$ 的坐标和平面的法向量和过平面上的一点，求出 $\vec$ 和 $\vec$，进而求出点到平面的距离。

举个例子，假设平面的方程为 $2x+y-3z+4=0$，点 $P(1,-2,5)$ 到该平面的距离为多少？

首先，我们要确定平面的法向量和过平面上的一点。由平面的方程可知，该平面的法向量为 $\vec=(2,1,-3)$，过平面上的一点为 $P_0(0,0,4/3)$。

接下来，我们可以求出 $\vec$：

$\vec=\begin1-0\\-2-0\\5-4/3\end=\begin1\\-2\\11/3\end$

然后，计算 $\vec\cdot\vec$ 和 $\|\vec\|$：

$\vec\cdot\vec=2\times1+1\times(-2)-3\times(11/3)=-13$

$\|\vec\|=\sqrt=\sqrt$

最后，带入公式求出点到平面的距离：

$d=\frac=\frac\approx3.38$

因此，点 $P(1,-2,5)$ 到平面 $2x+y-3z+4=0$ 的距离为约为 $3.38$。

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